For any three vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{c}$, prove that [$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{a}$] = 2[$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$]

Using the formula
[$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$] = $\overrightarrow{a}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$)
the LHS equation can be written as follows.

[$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{a}$]

⇒ ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) . [($\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$) $\times$ ($\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{a}$)]

⇒ ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) . [$\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$]

⇒ ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) . [$\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$]     ∵ $\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$ = 0

⇒ $\overrightarrow{a}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$) + $\overrightarrow{a}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$) + $\overrightarrow{a}$ . ($\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$) + $\overrightarrow{b}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$) + $\overrightarrow{b}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$) + $\overrightarrow{b}$ . ($\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$)

⇒ $\overrightarrow{a}$ . ($\overrightarrow{b}$ $\times$ $\overrightarrow{c}$) + 0 + 0 + 0 + 0 $\overrightarrow{b}$ . ($\overrightarrow{c}$ $\times$ $\overrightarrow{a}$)

⇒ [$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$] + [$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$]
⇒ 2[$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$]